INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR
"CENTRAL TÉCNICO"
Tema: Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U).
Alumno: Carranza Zambrano Jackson.
Docente: Ing. Julio Calvopiña Herrera, MSc.
Año Lectivo: 2014 - 2015.
Movimiento rectilíneo, si sigue una línea recta.
Los movimientos rectilíneos, que siguen una línea recta, son los movimientos más sencillos. Movimientos más complicados pueden ser estudiados como la composición de movimientos rectilíneos elementales. Tal es el caso, por ejemplo, de los movimientos de proyectiles.
El movimiento rectilíneo puede expresarse o presentarse como
Movimiento rectilíneo uniforme, o como
Este último puede, a su vez, presentarse como de caída libre o de subida vertical.
Tema: Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U).
Alumno: Carranza Zambrano Jackson.
Docente: Ing. Julio Calvopiña Herrera, MSc.
Año Lectivo: 2014 - 2015.
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| Movimiento rectilíneo, si sigue una línea recta. |
Los movimientos rectilíneos, que siguen una línea recta, son los movimientos más sencillos. Movimientos más complicados pueden ser estudiados como la composición de movimientos rectilíneos elementales. Tal es el caso, por ejemplo, de los movimientos de proyectiles.
El movimiento rectilíneo puede expresarse o presentarse como
Movimiento rectilíneo uniforme, o como
Este último puede, a su vez, presentarse como de caída libre o de subida vertical.
Movimiento rectilíneo uniforme
El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) fue definido, por primera vez, por Galileo en los siguientes términos: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aquél en el que los espacios recorridos por un móvil en tiempos iguales, tómense como se tomen, resultan iguales entre sí", o, dicho de otro modo, es un movimiento de velocidad v constante.
El MRU se caracteriza por:
a) Movimiento que se realiza en una sola dirección en el eje horizontal.
b) Velocidad constante; implica magnitud, sentido y dirección inalterables.
c) La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración = 0).
Rapidez fantástica.
Concepto de rapidez y de velocidad
Muy fáciles de confundir, son usados a menudo como equivalentes para referirse a uno u otro.
Pero la rapidez (r) representa un valor numérico, una magnitud; por ejemplo, 30 km/h.
En cambio la velocidad representa un vector que incluye un valor numérico (30 Km/h) y que además posee un sentido y una dirección.
Cuando hablemos de rapidez habrá dos elementos muy importantes que considerar: la distancia (d) y el tiempo (t), íntimamente relacionados.
Así:
Si dos móviles demoran el mismo tiempo en recorrer distancias distintas, tiene mayor rapidez aquel que recorre la mayor de ellas.
Si dos móviles recorren la misma distancia en tiempos distintos, tiene mayor rapidez aquel que lo hace en menor tiempo.
Significado físico de la rapidez
La rapidez se calcula o se expresa en relación a la distancia recorrida en cierta unidad de tiempo y su fórmula general es la siguiente:
Donde
v = rapidez d = distancia o desplazamiento t = tiempo
Usamos v para representar la rapidez, la cual es igual al cociente entre la distancia (d) recorrida y el tiempo (t) empleado para hacerlo.
Como corolario, la distancia estará dada por la fórmula:
Según esta, la distancia recorrida por un móvil se obtiene de multiplicar su rapidez por el tiempo empleado.
A su vez, si se quiere calcular el tiempo empleado en recorrer cierta distancia usamos
El tiempo está dado por el cociente entre la distancia recorrida y la rapidez con que se hace.
Ver: PSU: Física; Pregunta 04_2005(2)
En este ejemplo, el móvil recorre 8 metros cada 2 segundos y se mantiene constante.
Problemas o ejercicios sobre el movimiento rectilíneo uniforme:
Ejercicio 1
Un automóvil se desplaza con una rapidez de 30 m por segundo, con movimiento rectilíneo uniforme. Calcule la distancia que recorrerá en 12 segundos.
Analicemos los datos que nos dan:
Apliquemos la fórmula conocida:
y reemplacemos con los datos conocidos:
¿Qué hicimos? Para calcular la distancia (d), valor desconocido, multiplicamos la rapidez (v) por el tiempo (t), simplificamos la unidad segundos y nos queda el resultado final en metros recorridos en 12 segundos: 360 metros
Ejercicio 2
El automóvil de la figura se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme ¿cuánto demorará en recorrer 258 kilómetros si se mueve con una rapidez de 86 kilómetros por hora?
Analicemos los datos que nos dan:
Apliquemos la fórmula conocida para calcular el tiempo:
y reemplacemos con los datos que tenemos:
¿Qué hicimos? Para calcular el tiempo (t), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por la rapidez (v), simplificamos la unidad kilómetros y nos queda el resultado final en horas: 3 horas para recorrer 258 km con una rapidez de 86 km a la hora.
Ejercicio 3
¿Con qué rapidez se desplaza un móvil que recorre 774 metros en 59 segundos?
Analicemos los datos conocidos:
Aplicamos la fórmula conocida para calcular la rapidez:
¿Qué hicimos? Para calcular la rapidez (v), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por el tiempo (t), y nos queda el resultado final: la rapidez del móvil para recorrer 774 metros en 59 segundos: 13,11 metros por segundo.
Ejercicio 4
Los dos automóviles de la figura parten desde un mismo punto, con movimiento rectilíneo uniforme. El amarillo (móvil A) se desplaza hacia el norte a 90 km por hora, y el rojo (móvil B), hacia el sur a 80 km por hora. Calcular la distancia que los separa al cabo de 2 horas.
Veamos los datos que tenemos:
Para el móvil A:
Para el móvil B:
Calculamos la distancia que recorre el móvil A:
Calculamos la distancia que recorre el móvil B:
Sumamos ambas distancias y nos da 340 km como la distancia que separa a ambos automóviles luego de 2 horas de marcha.
Ejercicio 5
El corredor de la figura trota de un extremo a otro de la pista en línea recta 300 m en 2,5 min., luego se devuelve y trota 100 m hacia el punto de partida en otro minuto.
Preguntas: ¿Cuál es la rapidez promedio del atleta al recorrer ambas distancias? ¿Cuál es la rapidez media del atleta al recorrer los 400 metros?
Veamos los datos que tenemos:
Para el primer tramo:
Calculamos su rapidez:
Para el segundo tramo:
Calculamos su rapidez:
Rapidez promedio:
La rapidez promedio del atleta fue de 110 metros por minuto.
Veamos ahora cuál fue la velocidad media (vm)para recorrer los 400 metros:
La rapidez media del atleta fue de 114,29 metros por minuto.
El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) fue definido, por primera vez, por Galileo en los siguientes términos: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aquél en el que los espacios recorridos por un móvil en tiempos iguales, tómense como se tomen, resultan iguales entre sí", o, dicho de otro modo, es un movimiento de velocidad v constante.
El MRU se caracteriza por:
a) Movimiento que se realiza en una sola dirección en el eje horizontal.
b) Velocidad constante; implica magnitud, sentido y dirección inalterables.
c) La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración = 0).
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| Rapidez fantástica. |
Concepto de rapidez y de velocidad
Muy fáciles de confundir, son usados a menudo como equivalentes para referirse a uno u otro.
Pero la rapidez (r) representa un valor numérico, una magnitud; por ejemplo, 30 km/h.
En cambio la velocidad representa un vector que incluye un valor numérico (30 Km/h) y que además posee un sentido y una dirección.
Cuando hablemos de rapidez habrá dos elementos muy importantes que considerar: la distancia (d) y el tiempo (t), íntimamente relacionados.
Así:
Si dos móviles demoran el mismo tiempo en recorrer distancias distintas, tiene mayor rapidez aquel que recorre la mayor de ellas.
Si dos móviles recorren la misma distancia en tiempos distintos, tiene mayor rapidez aquel que lo hace en menor tiempo.
Significado físico de la rapidez
La rapidez se calcula o se expresa en relación a la distancia recorrida en cierta unidad de tiempo y su fórmula general es la siguiente:
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Donde
v = rapidez d = distancia o desplazamiento t = tiempo
|
Usamos v para representar la rapidez, la cual es igual al cociente entre la distancia (d) recorrida y el tiempo (t) empleado para hacerlo.
Como corolario, la distancia estará dada por la fórmula:
Según esta, la distancia recorrida por un móvil se obtiene de multiplicar su rapidez por el tiempo empleado.
A su vez, si se quiere calcular el tiempo empleado en recorrer cierta distancia usamos
El tiempo está dado por el cociente entre la distancia recorrida y la rapidez con que se hace.
Ver: PSU: Física; Pregunta 04_2005(2)
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| En este ejemplo, el móvil recorre 8 metros cada 2 segundos y se mantiene constante. |
Problemas o ejercicios sobre el movimiento rectilíneo uniforme:
Ejercicio 1
Un automóvil se desplaza con una rapidez de 30 m por segundo, con movimiento rectilíneo uniforme. Calcule la distancia que recorrerá en 12 segundos.
Analicemos los datos que nos dan:
Apliquemos la fórmula conocida:
y reemplacemos con los datos conocidos:
¿Qué hicimos? Para calcular la distancia (d), valor desconocido, multiplicamos la rapidez (v) por el tiempo (t), simplificamos la unidad segundos y nos queda el resultado final en metros recorridos en 12 segundos: 360 metros
Ejercicio 2
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El automóvil de la figura se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme ¿cuánto demorará en recorrer 258 kilómetros si se mueve con una rapidez de 86 kilómetros por hora?
Analicemos los datos que nos dan:
Apliquemos la fórmula conocida para calcular el tiempo:
y reemplacemos con los datos que tenemos:
¿Qué hicimos? Para calcular el tiempo (t), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por la rapidez (v), simplificamos la unidad kilómetros y nos queda el resultado final en horas: 3 horas para recorrer 258 km con una rapidez de 86 km a la hora.
Ejercicio 3
¿Con qué rapidez se desplaza un móvil que recorre 774 metros en 59 segundos?
Analicemos los datos conocidos:
Aplicamos la fórmula conocida para calcular la rapidez:
¿Qué hicimos? Para calcular la rapidez (v), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por el tiempo (t), y nos queda el resultado final: la rapidez del móvil para recorrer 774 metros en 59 segundos: 13,11 metros por segundo.
Ejercicio 4
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Los dos automóviles de la figura parten desde un mismo punto, con movimiento rectilíneo uniforme. El amarillo (móvil A) se desplaza hacia el norte a 90 km por hora, y el rojo (móvil B), hacia el sur a 80 km por hora. Calcular la distancia que los separa al cabo de 2 horas.
Veamos los datos que tenemos:
Para el móvil A:
Para el móvil B:
Calculamos la distancia que recorre el móvil A:
Calculamos la distancia que recorre el móvil B:
Sumamos ambas distancias y nos da 340 km como la distancia que separa a ambos automóviles luego de 2 horas de marcha.
Ejercicio 5
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El corredor de la figura trota de un extremo a otro de la pista en línea recta 300 m en 2,5 min., luego se devuelve y trota 100 m hacia el punto de partida en otro minuto.
Preguntas: ¿Cuál es la rapidez promedio del atleta al recorrer ambas distancias? ¿Cuál es la rapidez media del atleta al recorrer los 400 metros?
Veamos los datos que tenemos:
Para el primer tramo:
Calculamos su rapidez:
Para el segundo tramo:
Calculamos su rapidez:
Rapidez promedio:
La rapidez promedio del atleta fue de 110 metros por minuto.
Veamos ahora cuál fue la velocidad media (vm)para recorrer los 400 metros:
La rapidez media del atleta fue de 114,29 metros por minuto.
Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.
Velocidad
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
- 2 y 3 s.
- 2 y 2.1 s.
- 2 y 2.01 s.
- 2 y 2.001 s.
- 2 y 2.0001 s.
- Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
| ||||
t’ (s)
|
x’ (m)
|
Δx=x'-x
|
Δt=t'-t
|  m/s |
3
|
46
|
25
|
1
|
25
|
2.1
|
23.05
|
2.05
|
0.1
|
20.5
|
2.01
|
21.2005
|
0.2005
|
0.01
|
20.05
|
2.001
|
21.020005
|
0.020005
|
0.001
|
20.005
|
2.0001
|
21.00200005
|
0.00200005
|
0.0001
|
20.0005
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
0
|
20
| |||
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
- La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
- La posición del móvil en el instante t+Dt es x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1
- El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2
- La velocidad media <v> es
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de
- La velocidad
- La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.
El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.
 | En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior. |
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad
Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad ven función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.
 | En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instantet0, podemos calcular la velocidad v en el instante t. |
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son
Movimiento rectilíneo uniforme
 | Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando o gráficamente, en la representación de v en función de t. |
Link: http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Movimiento_rectilineo.html:
Link: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
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